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Musik, soll sie hörbar sein, ist an Schall gebunden. Physikalisch gesehen unterliegt sie den Gesetzmäßigkeiten, die für den Schall gelten. Schall entsteht, wo Materie schwingt, und zu seiner Ausbreitung in Form von Wellen bedarf er der Materie. Im nahezu materielosen interplanetaren Raum herrscht totale Stille. Die Sphärenmusik der Pythagoräer gibt es nicht.

Die angeschlagene Stimmgabel (Bild) schwingt, und zwar, weil sie so gebaut ist, exakt 440mal in der Sekunde, nach internationaler Übereinkunft ist das der Kammerton a. Diesen reinen Ton, mathematisch beschreibbar durch die Sinusfunktion und daher auch Sinuston genannt, mit der Frequenz f = 440 Hertz (abgekürzt Hz), strahlt die Stimmgabel in die Luft ab. Die Schwingung breitet sich in Form einer Kugelwelle aus, wie eine Seifenblase mit der Stimmgabel im Mittelpunkt, deren Radius mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schwingung, also der Schallgeschwindigkeit in Luft, wächst.

Um die Stimmgabel zum Schwingen zu bringen, bedarf es eines Anstoßes, einer Kraft oder, besser gesagt, einer bestimmten Energie. Einen Teil davon strahlt die Stimmgabel ab. Dabei verteilt sich diese Energie gleichmäßig auf der Oberfläche der Kugelwelle, die mit zunehmender Ausbreitung proportional zum Quadrat des Radius r wächst.

Die sich ausbreitende Energie, die je Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit hindurchtritt — das ist die Schallintensität —, nimmt wegen dieser Verteilung der Energie auf eine immer größer werdende Kugeloberfläche proportional zu 1/r quadrat ab. ("r" ist der radius)

Schlußfolgerung: Alle sonst noch existierenden Effekte wie Absorption, Reflexion, Beugung, Brechung des Schalls einmal weggelassen, nimmt die von einer Schallquelle abgestrahlte Intensität, sie ist gleichbedeutend mit Lautstärke, umgekehrt proportional zum Abstand von der Schallquelle ab, bis sie dann ganz verschwindet.

Ist der Abstand von der Schallquelle, das heißt der Radius der betrachteten Kugelwelle, hinreichend groß, so hat der Flächenausschnitt, durch den die je Zeiteinheit hindurchtretende Schallenergie gemessen wird, eine nur noch verschwindend kleine Krümmung: Der Flächenausschnitt erscheint eben, und mathematisch-physikalisch wird aus der Kugelwelle die ebene Welle, mit der in der Akustik, der Lehre des Schalls, wesentlich leichter zu rechnen ist.

Die Stimmgabel ist von Luft umgeben. Genauer betrachtet, stoßen in jedem Augenblick unzählige Sauerstoff-, Kohlendioxid- und Stickstoff- moleküle auf die Zinken der Stimmgabel und werden von diesen schlicht und einfach reflektiert, wie Elfenbeinkugeln an den Banden des Billardtisches. Befinden sich die Zinken der Stimmgabel nun aber im Schwingungszustand, übertragen sie bei jedem Rückwurf eines jeden Moleküls einen zusätzlichen Impuls, den jedes Molekül bei jedem Zusammenstoß mit einem anderen weitergibt.

Auf diese Weise erfolgt die Schallausbreitung sozusagen automatisch. Die mit einem Mikrophon meßbaren Auswirkungen dieser teilchen-kinetischen Vorgänge sind Druckschwankungen delta-p. Sie überlagern sich dem konstanten Druck p der Atmosphäre, von dem das Mikrophon nichts merkt, weil der Druck auf beide Seiten der Membran gleich einwirkt.

Eine Momentaufnahme der sich ausbreitenden ebenen Schallwelle ergäbe das folgende Bild: In Abständen X einer betrachteten Ausbreitungsrichtung treten Verdichtungen der Luftmoleküle auf, dazwischen jeweils in der Mitte Verdünnungen (2. Bild).

An den Orten der Verdichtungen ist der Druck größer als der Atmosphärendruck, bei den Verdünnungen liegt er darunter. Der Unterschied ist die Druckschwankung delta-p. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Verdichtungen oder Verdünnungen entspricht der Wellenlänge X der Schallschwingung.

Da die Ausbreitungsrichtung der Welle mit der Richtung der Schwingung übereinstimmt, nennt der Akustiker diese Wellenart Longitudinalwelle.

In Gasen und Flüssigkeiten gibt es nur diese Wellenart. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c des Schalls in der Normalatmosphäre (20°C Temperatur) beträgt 343,8 Meter in der Sekunde (m/s). Überschlägig läßt sich besser mit 340 m/s rechnen.

Die Dauer einer Schwingung, die sich fortwährend auf gleiche Weise wiederholt, also einer periodischen Schwingung, heißt Periode T. Während der Zeit T breitet sich die Schwingung um die Strecke A aus. Strecke durch Zeit ergibt aber die Geschwindigkeit c.

Also gilt:

Formel

Und weil die Periode nichts anderes ist als der Kehrwert der Frequenz (also T = 1/f), ergibt sich daraus ein Grundgesetz der Wellenlehre:

Formel

Somit beträgt die Wellenlänge des 440-Hertz-Kammertons

Formel

Schall breitet sich nicht nur in Gasen und Flüssigkeiten aus, sondern auch in Festkörpern. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Materialkonstante. In Wasser von 15°C beträgt sie rund 1.500 m/s und in Eisen sogar über 5.800 m/s. In festen Körpern treten neben Longitudinalwellen auch Biegewellen und Transversalwellen auf. Bei diesen verläuft die Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Das schönste Bild einer Transversalwelle ist die an einem gespannten Gummiseil entlanglaufende Welle, wenn das Seil am einen Ende durch einen Schlag angeregt wird. Transversalwellen können nur an den Stellen auftreten, an denen Schubspannungen vorhanden sind, was in Flüssigkeiten und Gasen eben nicht der Fall ist.

Nicht alle Arten Schwingungen der Materie sind als Schall zu bezeichnen. Nur die von der Spezies Mensch hörbaren Materieschwingungen gelten als Schall und somit als Töne, Klänge oder Geräusche. Die Wahrnehmbarkeit von Materieschwingungen hängt von ihrer Frequenz ab. Hörbar sind sie für uns Menschen, wenn ihre Frequenzen in den Bereich 20 bis 20.000 Hz (= 20 Kilohertz, kHz) fallen. Er heißt Tonfrequenzbereich.

Infraschall, das sind Schwingungen unter 20 Hz, empfindet der Mensch als Erschütterungen.

Im Ultraschallbereich über 20 kHz hören Hunde (Galton-Pfeife) und Fledermäuse (Echo-Ortungssystem) noch Töne, nicht aber der Mensch, jedenfalls nicht mit dem Ohr (es gibt Theorien, denen zufolge sehr hohe Frequenzen mit einigen Teilen des Kopfes wahrgenommen werden können und womöglich auch das Gesamt-Klangbild beeinflussen).

Der reine, der Stimmgabel zugeschriebene Sinuston (3.Bild) läßt sich strenggenommen nur mittels Sinusgenerator oder Synthesizer auf elektronischem Weg herstellen. Die von der Stimmgabel abgegebene Druckschwingung beschreibt die Formel

Formel

p0 bezeichnet die maximale Druckamplitude und t die Zeit.

Aber schon der gleiche Kammerton, auf der leeren a-Saite einer Violine gestrichen, sieht wesentlich komplizierter aus. Grundfrequenz, Wellenlänge und Periodizität sind unverändert, aber die Schwingung selbst entspricht nicht mehr dem schlichten Abbild eines Sinustons (4.Bild).

Tatsächlich strahlt die Violine einen Klang ab. Der französische Mathematiker und Ingenieur J. B. Fourier (1768 bis 1830) konnte nachweisen, daß jeder Klang, sofern er nur periodisch ist, sich in eine endliche Reihe von reinen Sinustönen zerlegen läßt (Fourier-Analyse eines Klanges, 5.Bild).

Der tiefste im Klang vertretene Ton, im allgemeinen der Grundton, zeichnet verantwortlich für die Tonhöhe. Er erhält die Bezeichnung Partialton erster Ordnung. Die Frequenzen der Partialtöne höherer Ordnung, auch Obertöne genannt, sind ganze Vielfache der Frequenz des Grundtons. Ihre Amplituden p0 nehmen mit wachsender Ordnung ab, bis sie schließlich ganz verschwinden. Dabei ist es nicht so, daß die Frequenzen der Obertöne lückenlos die Reihe der natürlichen Zahlen durchlaufen, also wenn der Grundton die Frequenz f hat, 2f, 3f, 4f, . . . nf.

In manchen Klängen überwiegen die geradzahligen Vielfachen des Grundtons (Oboe), in anderen die ungeradzahligen (Klarinette im unteren Register). Bei allen Instrumenten treten in ganz bestimmten Frequenzbereichen, den Formanten (6.Bild), Anhäufungen von Obertönen auf. Die Obertonverteilung und die Formanten bestimmen überwiegend den Klangcharakter und die Klangfarbe der verschiedenen Instrumente. Geräuschen fehlt die Eigenschaft der Periodizität, ihre Frequenzanalyse führt daher auch nicht zu den adretten Obertonreihen musikalischer Klänge.

Das Ergebnis einer Frequenzanalyse läßt sich leicht darstellen. In einem Koordinatensystem mit der Frequenz in Hz auf der x-Achse und Lautstärke der Obertöne auf der y-Achse erscheint jeder Oberton eines Klangs als Linie (7.Bild). Auf diese Weise sind Klänge durch Linienspektren gekennzeichnet. Bei der Flöte ist zum Beispiel der Grundton d1 (288 Hz) am stärksten vertreten, am zweitstärksten die Oktave 576 Hz, gefolgt von ganzen vier schwächeren Obertönen.

Ganz allgemein gilt: Je weniger Obertöne das Linienspektrum eines Instruments aufweist, desto weicher wirkt sein Klang.

Als schönes Gegenstück dazu erweist sich das Linienspektrum der Trompete: sehr viele Obertöne, darunter zahlreiche, die stärker sind als der Grundton. Deshalb ist der Trompetenklang strahlend brillant. Sehr markant sind auch die Unterschiede zwischen den Spektren der Oboe und der Klarinette.

Bei tiefen Tönen des Violoncellos und des Kontrabasses fehlt der Grundton ganz. Der Korpus dieser Instrumente ist im Verhältnis zur Wellenlänge der tiefen Frequenzen zu klein, so daß er sie durch Resonanz nicht verstärken kann.

Dennoch ordnet das Ohr dem Klang die Tonhöhe zu, die dem fehlenden Grundton entsprechen würde. Diesen Effekt, der sich als aus der Hörerfahrung heraus entwickeltes Empfindungsmerkmal höherer Ordnung erklären läßt, bezeichnet die Psychoakustik als Residuum. Eine optische Parallele solcher Residualwahrnehmung veranschaulicht folgende Darstellung:

hier Bild

Auch Geräusche lassen sich durch Spektren darstellen. Die Frequenzen liegen so eng beeinander, daß sich keine einzelnen Spektrallinien ergeben, sondern eine kontinuierliche Spektralkurve entsteht. So fördert die Analyse einer kleinen Trommel ein Geräuschspektrum zutage. Ihr läßt sich daher auch keine Tonhöhe zuordnen. Im Spektrum eines tiefen Klavierklangs (Bild 9) treten neben Linien auch zwei Geräuschkontinua auf. Hier liegt offensichtlich eine Mischung von Geräusch- und Linienspektrum vor.

Bei allen Musikinstrumenten löst Blasen, Zupfen, Schlagen oder Streichen den Klang aus, das heißt irgendeine Form der mechanischen Anregung, die Materie zum Schwingen bringt. Vom Zeitpunkt des Anspielens bis zum voll entwickelten quasistationären Klang gibt es eine von Instrument zu Instrument unterschiedliche kurze Zeitspanne der Instabilität.

Die Obertöne treten nicht alle gleichzeitig in Erscheinung, sondern in einer bestimmten Reihenfolge: Während des Toneinsatzes schwingt der Klang ein (Bild 10).

Bei der Trompete entwickelt sich der dritte Oberton innerhalb von 40 Millisekunden (ms), der Grundton erreicht erst nach 115ms den stabilen Zustand. Bei der Violine schwingt die Oktave am schnellsten ein, während der Grundton über 90ms benötigt, bis er voll ausgebildet ist. Dieses Einschwingverhalten ist ein weiteres bestimmendes Element für die Klangfarbe und den Klangcharakter eines Instruments. Auf Band aufgezeichnete Dauertöne einer Oboe und einer Flöte sind bei abgeschnittenen Toneinsätzen schwerer voneinander zu unterscheiden.

Die Maßeinheit für den Schalldruck ist wie für jeden anderen Druck das Newton je Quadratmeter (N/m2). In der Akustik erweist es sich jedoch als zweckmäßig, ein anderes, dimensionsloses Maß zu verwenden, den Schalldruckpegel. Er wird in Dezibel (dB) angegeben und ist wie folgt definiert:

Formel

px bedeutet den gemessenen Schalldruck, der als Schalldruckpegel auszudrücken ist, po einen Bezugsschalldruck, im allgemeinen aus bestimmten und später ersichtlichen Gründen bei 2 • 10 hoch-5 N/m2 festgelegt, und log10 den Logarithmus zur Basis 10.

Da auch die zu den akustischen Größen gehörenden elektrischen Größen wie
Spannung oder Leistung in dB angegeben werden, kennzeichnet SPL als Abkürzung von „Sound Pressure Level" hinter dB den Schalldruckpegel, also dB SPL.

Die Hörbarkeit von Tönen hängt von ihrer Lautstärke und Frequenz ab. Die Lautstärke, ab der ein von Null allmählich lauter werdender Ton einem Testpersonen-Kollektiv gerade hörbar wird, heißt Hörschwelle.

Für jede Frequenz ergibt sich eine andere Hörschwelle, wie die dicke untere Kurve in Bild 11 mit den Kurven gleicher Lautstärke verdeutlicht. Diese Hörschwellen-Kurve zeigt, daß das menschliche Gehör alles andere als ein frequenzlinearer Schallempfänger ist.

Seine größte Aufnahmebereitschaft erreicht das Ohr zwischen 2000 und 5000 Hz. Am empfindlichsten reagiert es auf Töne von 4000 Hz. Für höhere und vor allem für Frequenzen unterhalb von 250 Hz steigt die Hörschwelle rapide. Ein tiefer Baßton von 30 Hz muß im Ohr mit einem um über 50dB höheren Schalldruckpegel ankommen als der 4000 Hz Ton, damit er gerade hörbar wird.

Diese verbogene Empfindlichkeitskennlinie des menschlichen Ohrs ist das Ergebnis von Millionen Jahren Evolution und Überlebenskampf. Der Mensch, vor nicht allzulanger Zeit noch Jäger und Gejagter, konnte um so besser überleben, je früher er auf verräterisches Blätterrascheln und auf andere von seinen Feinden verursachte Geräusche reagierte. So entwickelte das menschliche Ohr im Verlaufe der Evolution seine größte Empfindlichkeit im Frequenzbereich 2000 bis 5000 Hz.

Wäre sie dort nur um weniges größer, würde dem Menschen schon das fortwährende Rauschen der molekularen Wärmebewegung zur Last fallen. Auch die Erhöhung der Hörschwelle zu tiefen Frequenzen hin hat natürliche Gründe. Gäbe es sie nicht, würden Trittschall und Komponenten der Windgeräusche das Ohr belästigen. In Jahrmillionen entwickelte der Mensch sein Gehör evolutiv zum optimalen Schallempfänger.

Die Kurven in Bild 11 zeigen auch den Zusammenhang zwischen effektivem Schalldruckpegel und subjektiv empfundenem Lautstärkepegel, experimentell mit einer ausreichenden Anzahl Versuchspersonen ermittelt. Ein 1000 Hz Ton veränderbaren Schalldruckpegels dient als Bezug. Die Testpersonen geben an, bei jeweils welchem Schalldruckpegel sie einen Ton anderer Frequenz als gleich laut empfinden.

Beide Töne besitzen dann definitionsgemäß den gleichen Lautstärkepegel in Phon. Das Ergebnis dieser systematisch durchgeführten Untersuchungen liefert die Kurven gleicher Lautstärke. Alle Töne, unabhängig von ihrer Frequenz, deren Lautstärkepegel auf der gleichen Kurve liegen, werden als gleich laut empfunden.

Die Kurven heißen aus diesem Grunde auch Isophone.

Karl Breh

In der nächsten Folge:
Unterschiedsschwellen des Gehörs, der Verdeckungseffekt, Richtungshören.
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